关于特殊角法的进阶探究

众所周知，特殊角法是初中几何的降维打击。其在初中的主要体现为 12345 模型。本文对特殊角进一步探究，使之可以适应所有题型。

初步探究

这是本文发布前，笔者关于特殊系的一些探究。

角度 对边 临边 斜边
α\alpha aa bb cc
α2\dfrac{\alpha}{2} c−b\sqrt{c-b} c+b\sqrt{c+b} 2c\sqrt{2c}
90°−α2\dfrac{90\degree-\alpha}{2} c−a\sqrt{c-a} c+a\sqrt{c+a} 2c\sqrt{2c}
2α2\alpha 2ab2ab 2b2−c22b^2-c^2 c2c^2
45°−α45\degree-\alpha b−ab-a b+ab+a 2c\sqrt{2}c

由 α\alpha 推导出来的其余角度构成一个特殊角系，例如初中常用的 37°37 \degree 系与 23°23 \degree 系如下：

角度 对边 邻边 斜边
37°37 \degree 33 44 55
18.5°18.5 \degree 11 33 10\sqrt{10}
26.5°26.5 \degree 11 22 5\sqrt{5}
74°74 \degree 2424 77 2525
8°8 \degree 11 77 525\sqrt{2}
角度 对边 邻边 斜边
23°23 \degree 55 1212 1313
11.5°11.5 \degree 11 55 26\sqrt{26}
33.5°33.5 \degree 22 33 13\sqrt{13}
46°46 \degree 120120 119119 169169
22°22 \degree 77 1717 13213\sqrt{2}

然而，这种方法有一个致命的缺陷：不同特殊角系不可混用。 在市一模中，笔者班级同学就是将 60°−37°60 \degree - 37 \degree 当作 23°23\degree 导致错误。

进阶探究

本文意在解决这个问题。

我们先改掉角度表示法，用角度近似是为了方便，然而在混用特殊角系时会造成歧义。我们用三元组 (a,b,c)(a,b,c) 表示三角比为 a:b:ca:b:c 的角。

则上文可写作

(3,4,5)2=(1,3,10)(4,3,5)2=(1,2,5)2(3,4,5)=(24,7,25)π4−(3,4,5)=(1,7,52)\dfrac{(3,4,5)}{2}=(1,3,\sqrt{10})\\ \dfrac{(4,3,5)}{2}=(1,2,\sqrt{5})\\ 2(3,4,5)=(24,7,25)\\ \dfrac{\pi}{4}-(3,4,5)=(1,7,5\sqrt{2})

接下来是重点。我们用这种表示法来实现不同特殊角混用。

(a1,b1,c1)+(a2,b2,c2)=(a1b2+a2b1,b1b2−a1a2,c1c2)(a1,b1,c1)−(a2,b2,c2)=(a1b2−a2b1,b1b2+a1a2,c1c2)(a_1,b_1,c_1)+(a_2,b_2,c_2)=(a_1b_2+a_2b_1,b_1b_2-a_1a_2,c_1c_2)\\ (a_1,b_1,c_1)-(a_2,b_2,c_2)=(a_1b_2-a_2b_1,b_1b_2+a_1a_2,c_1c_2)\\

最后附上几个做题常见的东西：

（2020中考）

(4,3,5)−(2,3,13)=(6,17,513)(4,3,5)-(2,3,\sqrt{13})=(6, 17, 5 \sqrt{13})

（2025靶向二）

(24,7,25)−(3,2,13)=(27,86,2513)(24,7,25)-(3,2,\sqrt{13})=(27, 86, 25 \sqrt{13})

其他可能用的：

(3,4,5)−(2,3,13)=(1,18,513)(2,3,13)−(1,3,10)=(3,11,130)(2,3,13)−(1,2,5)=(1,8,65)(3,4,5)-(2,3,\sqrt{13})=(1, 18, 5 \sqrt{13})\\ (2,3,\sqrt{13})-(1,3,\sqrt{10})=(3, 11, \sqrt{130})\\ (2,3,\sqrt{13})-(1,2,\sqrt{5})=(1, 8, \sqrt{65})

代码实现

python 写了一个简单的包，基于 sympy。如果你要探究其他角度，直接跑代码就可以。

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import sympy as sp

class Angle(object):
    def __init__(self, a, b, c):
        self.a, self.b, self.c = a, b, c
        # assert a * a + b * b == c * c

    def __repr__(self):
        return f'Angle(a={self.a}, b={self.b}, c={self.c})'

    def latex(self) -> str:
        return f'({sp.latex(self.a)}, {sp.latex(self.b)}, {sp.latex(self.c)})'

    def coangle(self) -> 'Angle':
        # pi/2-alpha
        a, b, c = self.a, self.b, self.c
        return Angle(b, a, c)

    def double(self) -> 'Angle':
        # 2alpha
        a, b, c = self.a, self.b, self.c
        return Angle(2 * a * b, 2 * b * b - c * c, c * c)

    def half(self) -> 'Angle':
        # alpha/2
        a, b, c = self.a, self.b, self.c
        return Angle(sp.sqrt(c - b), sp.sqrt(c + b), sp.sqrt(2 * c))

    def cohalf(self) -> 'Angle':
        # (pi/2-alpha)/2
        a, b, c = self.a, self.b, self.c
        return Angle(sp.sqrt(c - a), sp.sqrt(c + a), sp.sqrt(2 * c))

    def __add__(self, beta: 'Angle') -> 'Angle':
        # alpha + beta
        a1, b1, c1 = self.a, self.b, self.c
        a2, b2, c2 = beta.a, beta.b, beta.c
        return Angle(a1 * b2 + a2 * b1, b1 * b2 - a1 * a2, c1 * c2)

    def __sub__(self, beta: 'Angle') -> 'Angle':
        # alpha + beta
        a1, b1, c1 = self.a, self.b, self.c
        a2, b2, c2 = beta.a, beta.b, beta.c
        return Angle(a1 * b2 - a2 * b1, b1 * b2 + a1 * a2, c1 * c2)


degree30 = Angle(1, sp.sqrt(3), 2)
degree45 = Angle(1, 1, sp.sqrt(2))