浅谈坐标系中三角形面积的存在性问题

背景

之前周练考了，把叉乘乘反了，-9pts。

据说不咋考了，不过还是写一下，期末考 rp++ 触底反弹（

例题

借用周练题。

如图，$y=-\dfrac{6}{x}$ 上有两点 $A(-2,3),B(6,-1)$，若点 $P$ 在 $y=-\dfrac{6}{x}$ 上，且 $S_{\triangle APB}=8$，求点 $P$ 坐标。

先设 $P(x,-\dfrac{6}{x})$，并易得 $y_{AB}=-\dfrac{1}{2}x+2$。

方法一：铅垂法

常规方法。我们先找一个点 $P$，过 $P$ 竖割，如图：

则 $S_{\triangle APB}=S_{\triangle ACP}+S_{\triangle BCP}=\dfrac{1}{2}CP \times h_1+\dfrac{1}{2}CP \times h_2=\dfrac{1}{2} CP \times |x_B-x_A|$。

这个方法可以简记为：三角形面积是水平宽乘铅垂高的一半。

本题中，$C(x,-\dfrac{1}{2}x+2)$，故 $\dfrac{1}{2} \times |-\dfrac{1}{2}x+2-(-\dfrac{6}{x})| \times [6-(-2)]=8$。

草稿纸在这里，最后可得答案：

$$P_1(2\sqrt{3},-\sqrt{3}), P_2(-2\sqrt{3},\sqrt{3})\\ P_3(4+2\sqrt{7},2-\sqrt{7}), P_4(4-2\sqrt{7},2+\sqrt{7})$$

方法二：等积变形

考虑三角形的底是 $AB=4\sqrt{5}$，则顶点 $P$ 对应的高 $h=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}$。

由平行线间距离处处相等，作 $l_1,l_2 \mathop{//} AB$，使距离为 $h$ 即可。$l_1,l_2$ 与 $y=-\dfrac{6}{x}$ 交于四点，这四点即为所求。

现在只需要求出 $l_1,l_2$ 的方程联立即可。设 $y=-\dfrac{1}{2}x+b$，由平行线距离公式 $\dfrac{|b_1-b_2|}{\sqrt{k^2+1}}$ 可得：

$\dfrac{|b-2|}{\sqrt{\dfrac{5}{4}}}=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}$

这样解得 $b_1=0,b_2=4$，将 $y=-\dfrac{1}{2}x$ 与 $-\dfrac{1}{2}x+4$ 分别与 $y=-\dfrac{6}{x}$ 联立即可求得：

$$P_1(2\sqrt{3},-\sqrt{3}), P_2(-2\sqrt{3},\sqrt{3})\\ P_3(4+2\sqrt{7},2-\sqrt{7}), P_4(4-2\sqrt{7},2+\sqrt{7})$$

方法三：作高法

直接过 $P$ 作高，有 $S_{\triangle APB}=\dfrac{1}{2} \times AB \times h$。

应用点到直线距离公式 $\dfrac{|kx+b-y|}{\sqrt{k^2+1}}$ 列方程：

$$\dfrac{1}{2} \times 4\sqrt{5} \times \dfrac{|-\dfrac{1}{2}x+2-(-\dfrac{6}{x})|}{\sqrt{\dfrac{5}{4}}}=8$$

这个方程整理后与方法一一致，解得：

$$P_1(2\sqrt{3},-\sqrt{3}), P_2(-2\sqrt{3},\sqrt{3})\\ P_3(4+2\sqrt{7},2-\sqrt{7}), P_4(4-2\sqrt{7},2+\sqrt{7})$$

方法四：公式法

唯 一 真 神。

应用向量叉乘，对于 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 和原点围成的三角形，有公式：

$$S_{\triangle AOB}=\dfrac{1}{2}|x_1y_2-y_1x_2|$$

加入一点 $C(x_3,y_3)$，变换坐标系，原点到 $A$ 点，可得公式：

$$S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}|(x_3-x_1)(y_2-y_1)-(y_3-y_1)(x_2-y_1)|$$

这个公式笔者自己编了口诀：三减一乘二减一，减号两边 xy 换，绝对值再取一半。

在本题中，可列方程：

$$\dfrac{1}{2}|-4(x+2)-8(-\dfrac{6}{x}-3)|=8$$

这个方程整理后与方法一一致，解得：

$$P_1(2\sqrt{3},-\sqrt{3}), P_2(-2\sqrt{3},\sqrt{3})\\ P_3(4+2\sqrt{7},2-\sqrt{7}), P_4(4-2\sqrt{7},2+\sqrt{7})$$

总结

遇到无法直接算的三角形面积，可以采用铅垂法、等积变形、作高法、公式法解题。一般在坐标系中，三角形面积的存在性问题有多个答案，要注意分类讨论，合理取舍。